新疆乌鲁木齐市第十二中学 陶建成
论文摘要:针对三角形的应用在高考中的地位日益凸显,本文对解斜三角形相关的实际问题进行了归纳、小结。
论文关键词:三角形 应用 几种常见题
解斜三角形在实际中的应用是很广泛的,如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识.解斜三角形有关的实际问题过程,贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发,经过抽象概括,把它转化为具体问题中的数学建模,然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解.
一、解题步骤
解题的一般步骤是:
(1)准确理解题意,弄清应用题中有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角等,根据题意画出示意图,分清已知和所求;
(2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,把实际问题转化为解三角形的问题.
(3)通过正确地运用正弦定理和余弦定理来解三角形,一是要会解,二是要选择适当的方法求解.
(4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍.
二、几种常见题目类型的解法
本文就求距离的几个类型进行简单的讨论
(一)两点能通视而不能到达求水平距离
例1、如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?
分析:根据所给图形可以看出,在△ABC中,已知BC是半小时路程,只要根据所给的 方位角数据,求出∠ABC、∠A的大小,由正弦定理可以得出AC的长。
解:在△ABC中,BC=(km)
∠ABC,
∴
由正弦定理,得
答:货轮到达C点是与灯塔A的距离是。
(二)两点都不能到达求水平距离
例2、如图所示,为了测量河对岸A、B两点间的距离,在这一岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=a,∠BCD=b,∠BDC=g ,∠ADC=d ,试求AB的长.
分析:如图所示,对于AB求解,可以在△ABC中或者是△ABD中求解,若在△ABC中,由∠ACB=a -b,故需求出AC、BC,再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD内利用正弦定理求解,BC可在△BCD内由正弦定理求解.
解:在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=a,∠ADC=d,由正弦定理得
在△BCD中,由正弦定理得
在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为 ,所以用余弦定理.就可以求得
(三)求垂直距离
例3、如图,已知海中一小岛周围38海里内有暗礁,一船正在向南航行,在处测得小岛在船的南偏东,航行30海里后,在处测得小岛在船的南偏东,如果此船不改变航向,继续往南航行,有无触礁的危险?
分析:船继续向南航行,有无触礁的可能取决于到直线的距离是否大于38海里。于是我们只要先算出(或)的大小,再算处到所在直线的距离,将它与38海里比较即可得到答案。
解:在△中,BC,,,∴
由正弦定理知: ,即
∴
∴到所在直线的距离为:(海里)
它大于38海里,因此,船不改变航向,继续往南航行,没有触礁的危险。
(四)求距离最值问题
例4、距离船只A的正北方向100千米处有一船只B,以20千米/时的速度沿北偏西60角的方向行驶。A船只以15千米/时的速度向正北方向行驶。若两船同时出发问几小时后,两船相距最近?
分析:若设A行驶到C,B行驶到D,两船相距为CD的长,显然已构成ΔBCD,利用解三角形的知识可求出DC,即构造DC=f(x)的函数关系式。
解:设x小时后B行驶到D,A行驶到C,依题意得:BD=20x,BC=100-5x.则:
∴当x=(0,)时, 有最小值,也就是两船行驶小时后相距最近,最近距离为96千米。
总结: 对于解斜三角形的实际应用问题要理解题意,分清已知与所求,根据题意画出示意图,抽象或构造出三角形,明确先用哪个公式定理,先求出哪些量,确定解三角形的方法,在演算过程中要算法简炼、算式工整、计算正确,还要注意近似计算的要求。对于实际应用问题中的有关名词、术语要理解清楚,如坡度、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等。
三、解斜三角形应用题常用到的方法小结:
四、相关练习及答案:
1.已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,那么cosC的值为( )
A.- B. C.- D.
分析:先用正弦定理:可求出a∶b∶c=3∶2∶4,
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理:
即
答案:A
2.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度
解:如图所示,∠SMN=15°+30°=45°,∠SNM=180°-45°-30°=105°
∴∠NSM=180°-45°-105°=30°
答:货轮的速度为里/小时
3.△ABC中,a+b=10,而cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,求△ABC周长的最小值
分析:由余弦定理可得,然后运用函数思想加以处理
解:
又∵cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根 ∴
由余弦定理可得
则
当a=5时,c最小且c=
∴△ABC周长的最小值为
4.在湖面上高h米处,测得云的仰角为α,而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为β,试证:云高为米
分析:因湖而相当于一平面镜,故云C与它在湖中之影D关于湖面对称,设云高为x=CM,则从△ADE,可建立含x的方程,解出x即可
解:如图所示,设湖面上高h米处为A,测得云的仰角为α,而C在湖中的像D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E,设云高CM=x
则CE=x-h,DE=x+h
解得:
5.在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α1处,十分钟后船在A正北,又过十分钟后船到达A的北偏东α2处若船的航向与程度都不变,船向为北偏东θ,求θ的大小(α1>α2)
分析:根据题意画示意图,将求航向问题转化为解三角形求角问题
解:如图所示,在△ABC中,由正弦定理可得:
①
在△ACD中,由正弦定理可得:
②
根据题意,有BC=CD
∴由①、②得:
即
(α1>α2)